Создана новая геометрия
Математики из МГУ совместно с иностранными специалистами заложили основы нийенхейсовой геометрии — раздела математики, который тесно связан с интегрируемыми системами, алгеброй, дифференциальной геометрией и математической физикой. Работы ([1] и [2]), поддержанные грантом РНФ, можно найти на сайте arXiv.org, сейчас они готовятся к публикации в ведущих мировых математических журналах.
В основе современной физики лежит геометрия. Так, например, теория относительности Альберта Эйнштейна связана с псевдоримановой геометрией. В этой геометрии информация о геометрической структуре записывается в виде матрицы — заключенных в таблицу элементов объекта, который изучают математики. В такой таблице все элементы имеют два номера — номер строки, где он записан, и номер столбца.
Компоненты, то есть значения элементов таблицы, меняются от точки к точке. Если размерность пространства, например, три (длина, ширина и высота), то размер такой матрицы три на три, то есть у нее девять параметров. На матрицу накладывается дополнительное условие — симметричность. Это значит, что элементы матрицы, симметричные относительно диагонали, одинаковы. Это значит, что количество параметров не девять, а шесть. Свою теорию относительности Альберт Эйнштейн формулировал именно в терминах псевдоримановой геометрии — это ее математический инструментарий. Он объединил пространство и время, получив четырехмерный объект, поэтому матрица у него имеет размер четыре на четыре. В свою очередь, уравнение Эйнштейна описывает гравитацию через компоненты матрицы. Именно его численно решают астрофизики, когда пытаются описать поведение физических объектов в окрестности черных дыр.
Другая геометрия, которую используют в классической механике и частично в квантовой, называется Пуассоновой геометрией. Она возникла сначала как инструмент в теории динамических систем. Сейчас ее используют, например, в теории деформационного квантования, за создание которой известный французский математик российского происхождения Максим Концевич получил премию Филдса и дважды премию Миллера (один раз — за физическую часть, другой раз — как раз за соответствующий математический инструментарий). Эта теория позволяет комплексно подходить к переходу от классической физики к квантовой. Сегодня в этом направлении множество вопросов, которые активно изучаются.
«В своих работах мы обратились к геометрии, где информация о структуре также содержится в матрице. Важное отличие в том, что это за матрица, — объясняет Андрей Коняев, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии мехмата МГУ имени М.В. Ломоносова. — Традиционно матрицами в математике записывают три разных объекта — билинейная форма, 2-вектор и оператор. Матрицами их записывают потому, что эти объекты называются тензорами и правильно преобразуются при замене координат. В псевдоримановой геометрии фигурируют билинейная форма, в пуассоновой — 2-вектор, а в новой геометрии, которая получила название нийенхейсовой, речь про операторы».
Представьте себе обычную материю: кусочек скатерти или полотенце. Оно состоит из переплетенных нитей. Часть нитей идет, условно, слева направо, а часть — сверху вниз. Если скатерть повидала виды, то на ней есть зацепки, стяжки. Двумерное пространство с оператором Нийнехейса представляет собой что-то похожее — через каждую точку протянуты нити. В этом смысле теорема о расщеплении говорит, как локально устроено плетение нашей «скатерти», а изучение особых точек (теорема о линеаризации) — какие бывают простейшие узелки и зацепки.
На матрицу в нийенхейсовой геометрии тоже наложены некоторые условия, которые были открыты Альбертом Нийенхейсом еще в 50-х годах прошлого века. Несмотря на то, что этот объект был в распоряжении математиков последние 60 лет, он рассматривался как некий вспомогательный объект для решения других задач.
Похожая ситуация была с пуассоновой геометрией в 70-х годах прошлого века до тех пор, пока нескольким математикам не удалось заложить фундамент пуассоновой геометрии. Этот фундамент — некоторый набор базовых теорем, которые раскрывают богатство структуры и демонстрируют потенциал для ее изучения.
Одним из таких ученых был Алан Вайнштейн. Ему удалось доказать так называемую теорему о расщеплении и заложить основы линеаризации — обе эти математические идеи позже превратились в целые направления.
«В новых работах удалось получить похожие по глубине результаты — теорему о расщеплении для операторов Нийнехейса, а также сформулировать и в некоторых случаях решить проблему линеаризации. В этих же работах мы продемонстрировали глубокие связи полученных результатов с другими областями математики и математической физики», — подводит итог Андрей Коняев.