Математика футбольного мяча

КлассикаПоверхность классического футбольного мяча состоит из слегка искривленных 12 правильных пятиугольников чёрного цвета и 20 правильных белых шестиугольников. «Классическим» такой мяч был не всегда: впервые такие покрой и раскраска были использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 году в Мексике. Чёрно-белая раскраска тогда была выбрана из соображений контрастности, чтобы мяч был лучше виден на преобладавших в то время чёрно-белых телевизорах. Да и само название — Telstar — он получил в честь телевизионного спутника. В последующие годы раскраска официальных мячей менялась, но покрой оставался неизменным вплоть до чемпионата 2002 года. С точки зрения математики, классический футбольный мяч является усечённым икосаэдром.Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов «двадцать» и «основание». У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 рёбер. Если срезать вершины икосаэдра, отступив от вершин так, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками, то срезы будут правильными пятиугольниками. Это усеченный икосаэдр — один из полуправильных многогранников: все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов, все вершины устроены «одинаково», т. е. многогранные углы при вершинах равны. Итак, классический футбольный мяч — усечённый икосаэдр. Добавим ещё немного математики — теорию групп, порождённых отражениями — и сделаем простую в изготовлении, но красивую модель, которую можно продемонстрировать друзьям. Для модели понадобится три треугольных зеркала указанных размеров, изолента (скотч) для их скрепления, а также раскрашенный в два цвета равносторонний треугольник. Затратив немного времени на склеивание зеркального трёхгранного угла, вы получите возможность вложив в него раскрашенный треугольник увидеть модель классического футбольного мяча! При покачивании модели относительно оси зрения картинка меняться не будет. Зеркальные равнобедренные треугольники проще всего вырезать из пластика с зеркальным напылением. Если у вас нет возможности сделать модель — можете посмотреть видео «Математических этюдов». Что же это за такой магический зеркальный угол, в котором при отражениях виден футбольный мяч? (А на самом деле — икосаэдр, который виден ещё более явно, если вложить в модель одноцветный треугольник.) Зеркальный угол связан с самим икосаэдром: его вершина расположена в центре фигуры, а зеркала проходят через стороны одной из граней. Отсюда получаются и условия на стороны равнобедренных треугольников, образующих зеркальный угол. А то, что картинка в таком зеркальном угле будет икосаэдром, гарантирует теория групп, порождённых отражениями. СовременностьКак известно, сферу нельзя согнуть из плоской развертки. Это запрещает сделать математика: теорема о том, что важная характеристика поверхности, называемая гауссовой кривизной, не меняется при изгибании без растяжений.Гауссова кривизна отражает внутреннюю геометрию поверхности и не меняется при её изгибании. Например, у плоскости гауссова кривизна равна нулю. У цилиндра и конуса, которые можно свернуть из плоского листа бумаги — тоже ноль. А вот у сферы гауссова кривизна положительна. Значит, сделать сферу из плоских панелей (развёртки) — невозможно. И наоборот — развернуть сферу на плоскость без искажений тоже нельзя, и все плоские карты Земли — неточны.Поэтому, какую модель мяча ни взять, её необходимо «раздувать». А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая? (Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.)После 2002 года начались эксперименты и в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии, состоялась премьера нового официального мяча получившего название Brazuca. Модель этого мяча действительно более «сфероподобна», чем классическая. Но при этом Brazuca — это куб! Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, имеющих по четыре угла. У неё 8 вершин, в каждой из которых сходится по 3 панели. Придуманные фирмой Adidas панели действительно можно склеить в выпуклую поверхность. Успех гарантирует выполнение условий теоремы российского академика (и автора школьного учебника по геометрии) Александра Даниловича Александрова: сумма углов панелей в вершинах не превосходит 360 градусов; длины «сторон» панелей между углами совпадают; а сумма кривизн границ в точках склейки неотрицательна.В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. Все четыре угла панели Brazuca равны 120 градусам. Соответственно, когда в вершинах модели встречаются три угла, сумма углов вокруг вершины равна 360 градусов: поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской». Но куда же делась кривизна? Ведь сфера является поверхностью постоянно положительной кривизны и кривизна должна быть! В модели бразуки кривизна «размазана» по длинным рёбрам — из-за этого модель становится существенно более близкой к сфере, чем модель классического мяча.Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года — тоже куб. В описанном смысле. Только, в отличие от предыдущей модели, панели имеют не кривые границы, а являются одинаковыми плоскими многоугольниками.